במשך עשרות שנים כיהן כרבה הספרדי של מגדל העמק, ושימש כמנהיג רוחני דגול ואהוב על כל שכבות הציבור. לצד חברו להנהגת העיר, רבה האשכנזי של מגדל העמק הגאון רבי יצחק דוד גרוסמן שליט"א, עמד הרב מנחם זצ"ל בראש המהפכה התורנית בצפון והפך את העיר למגדלור של תורה, חסד וחינוך.
הרב זצ"ל יסד ועמד בראש מוסדות "נר הצפון" בעיר, שכללו תלמודי תורה, גני ילדים, ישיבה קטנה "נזר התורה", כוללים לאברכים ובית הכנסת "אור העמק". אלפי תלמידים התחנכו במוסדותיו והעמידו בתים נאמנים לתורה וליראת שמיים.
נודע בענוותנותו המופלגת ובמאור פניו לכל אדם. למרות מעמדו הרם, התהלך בצניעות רבה, דלתו הייתה פתוחה לרווחה לכל דורש ומבקש, ושיעורי התורה והדף היומי שהמסר בבתי הכנסת משכו אליהם רבים מתושבי האזור.
הותיר אחריו דור ישרים מבורך, בנים ובני בנים העוסקים בתורה ובמצוות וממשיכים את דרכו המפוארת.
הרב יצחק דוד גרוסמן שליט"א רב העיר ספד לו: רק אתמול בתשעה באב, קראנו במגילת איכה את פסוקי השכול והאבל: "על אלה אני בוכיה, עיני עיני יורדה מים, כי רחק ממני מנחם משיב נפשי. אנחנו בוכים ומתאבלים על אבדן נפש יקרה, רב רבנן, עומד על משמר הכשרות והטהרה מזה כיובל שנים במסירות, שהעמיד תלמידים הרבה, רבה הספרדי של מגדל העמק, ידיד ורע נאמן, הרב הגאון רבי אברהם מנחם זצ"ל, שנלקח לבית עולמו עטור במעשים טובים. כשמותיו כן היה. אברהם – מידת החסד והרחמים, שקירב ליבות ישראל לאביהם שבשמים, ועוד לפני כיובל שנים עמד כצור איתן לימין מפעלות ומוסדות 'מגדל אור'. ומנחם – היתה בו מידת הנחמה והחיזוק, לעודד אחרים ולהיות להם למחסה ומגן, והיה כאב לתלמידיו הרבים במוסדותיו 'נר הצפון' וישיבת 'נזר התורה'. תרומתו הכבירה ועמידתו האיתנה למען תושבי מגדל העמק בכלל ולימין תלמידי 'מגדל אור' בפרט, ילוו אותו, והלך לפניו צדקו עדי יקיצו כל שוכני עפר בתחיית המתים במהרה".
ראש עיריית מגדל העמק יקי בן חיים ספד: "אבל גדול נפל הבוקר על העיר מגדל העמק. בצער רב וביגון קודר בשמי ובשם סגני ראש העיר וחברי מועצת העיר אנו מרכינים ראש ומשתתפים בצערה העמוק של משפחת מנחם על פטירתו של רבה הראשי של העיר, מורנו ורבנו הגאון הרב אברהם מנחם זצוק"ל.הרב הקדיש את כל חייו לתורה למען הכלל וקירוב לבבות בארץ ובמגדל העמק בפרט. אבד מנהיג רוחני דגול ואוהב ישראל. תרומתו הכבירה לעיר ולתושביה תישאר לעד".
מסע ההלוויה יצא מבית המדרש ומוסדות "נר הצפון" במגדל העמק לעבר בית החיים בהר המנוחות בירושלים, שם ייטמן. תהא נשמתו צרורה בצרור החיים.
